Millaista on varhaiskasvatuksen matematiikka eli ”pikkumatikka” ja miksi sitä tarvitaan?

Vieraskynässä Minna Hannula-Sormunen

“Oppimiseen vaikuttaa merkittävästi kuinka ”lukumäärätietoinen” ympäröivä kulttuuri ja lapsen kasvuympäristö on”

Esimerkki 1:

Varhaiskasvatuksen opettaja: Niitä tulee niinku koko aika tämmöisiä niinku tänäänki, että mitä tämä maksaa tämä näkkileipä…Ja me oltiin tuolla luontopolulla ja mentiin meren rantaan ja siellä oli emo, äitilintu ja sillä poikasia perässä. Ja kato, ihana pikkanen tuolla ja pla pla plaa ja mä että montako poikasia on? Itteki huomas, että niitä oli tosi vaikea laskea kun ne koko ajan liikkui ja vaihtoi paikkaa ja ne oli samannäköisiä ja meni näin ja ne poikaset uis siinä vedessä ja vaihto paikkaa. Ittekki ihmetteli, että onko niitä kuus vai seittemän ja ihan  oikeesti me kauan katottiin ja laskettiin niitä ja sitten oli ihanan herkullinen hetki, että eiks oo vaikea niitä laskea, että miten se nyt onkin niin vaikea? No kun ne vaihtaa paikkaa ja on samannäkösiä ja mä siihen, että niinpä onki ja miten me saatais ne hyvin laskettua. – Jos ne uis tossa jonossa, olis kaikki helpompi laskea. Ja sitten kun ne meni lähemmäs rantaa, joku sanoi: Ja jos ne nyt nousis tonne rantaan, niin meidän olis helpompi kun siinä ne ei vaihda näin paikkaa. Siis sitä kesti vaikka kuinka kauan ja nää linnut oli siinä ja sitä matikkaa väännettiin ja käännettiin siinä. 

Esimerkki 2:

Äiti oli laittanut musiikkileikkikouluun lähtevän 4-vuotiaan Vilin reppuun muiden eväiden lisäksi suklaata. Isä odotteli Viliä musiikkileikkikoulun eteisessä repun vieressä. Kun eväiden syömisen aika tuli, Vili haki reppunsa, avasi sen ja katsoi sitten tiukasti isää. ”Täällä oli kolme suklaapalaa ja nyt täällä on vain yksi!” Tämä oli ensimmäinen kerta, kun Vili vanhempien mukaan kiinnitti huomiota tarkkoihin lukumääriin ja käytti lukusanoja kuvatakseen lukumääriä. (Hannula-Sormunen, Mattinen, Räsänen & Ruusuvirta, 2018)

Vili oli mukana Nallematikka-ohjelmaa eri päiväkodeissa kokeilleessa interventiossamme, jolla pyrittiin kehittämään lasten varhaisia matemaattisia taitoja ja oppimisvalmiuksia. Ensimmäinen esimerkki on hyvillä matemaattisilla laskulaseilla varustetun varhaiskasvatuksen opettajan kuvaus onnistuneesta matemaattisesta harjoittelusta päiväkodissa. Varhaiskasvatuksen opettajan haastattelu tehtiin osana Nallematikka-ohjelman kehitystyötä (Mattinen, Räsänen, Hannula & Lehtinen, 2009).

Parhaimmillaan pienten lasten matematiikka varhaiskasvatuksessa ja kotona on juuri tällaista arkisten tilanteiden sisältämän, lapsille sopivantasoisen matematiikan esille tuomista, kielellistämistä, yhteistä leikkiä ja pohdiskelua (Mattinen & Hannula-Sormunen, 2017). Matemaattinen ajattelu voi olla hyvinkin käyttökelpoinen taito jo pienellekin lapselle hänen pyrkiessään hahmottamaan maailmaa, sen määrällisiä suhteita ja säännönmukaisuuksia. Matemaattisia ilmiöitä tai käsitteitä ei voi erottaa muun elämän ulkopuolelle, sillä ne ovat läsnä kaikkialla myös pienten lasten maailmassa.  Lasten hallitsema pieniä lukumääriä, lukuja ja määrällistä havainnointia sisältävä matemaattisen ajattelun perusta tosin on aikuiselle helposti tiedostamatonta ja itsestään selvää, joten aikuinen ei sitä välttämättä huomaa tekevänsäkään. Ensimmäinen askel lasten ohjaamisen polulla onkin näiden taitojen ja käsitteiden tiedostaminen osana omaa arkista puuhailua, vaikkapa kahvinkeittoa. Mitä matemaattista ajattelua se pitää sisällään?

Kuva Minna Hannula-Sormunen

Varhaisten matemaattisten taitojen oppimisessa abstraktimpi, käsitteellinen ymmärrys lukumääristä ja muista matemaattisista käsitteistä edellyttää kulttuuristen käytäntöjen (esim. esineiden laskeminen) ja tietojen (esim. lukusanat ja aritmeettiset operaatiot) välittymistä lapsen ja aikuisen vuorovaikutuksessa.  Näiden oppiminen ei ole itsestäänselvyys eikä tapahdu automaattisesti. Lukumäärien tunnistaminen ja ilmaiseminen sanoin ja symbolein ja näiden välisten suhteiden oppiminen vie lapsen kehityksessä useita vuosia aikaa ja se vaatii myös paljon harjoittelua (Fuson, 1988). Oppimiseen vaikuttaa merkittävästi kuinka ”lukumäärätietoinen” ympäröivä kulttuuri ja lapsen kasvuympäristö on. Kun aikuisen ja lapsen jaettu tarkkaavaisuus kohdistuu matemaattisiin piirteisiin, aukeaa lapselle mahdollisuus oppia aikuiselta lisää taitoja lukumäärien ja muun matematiikan käsittelemiseen ja hyväksikäyttöön lapsen omassa toiminnassa. Nämä yhdessä luovat täysin välttämättömän pohjan lasten matemaattisten taitojen oppimiselle (ks. katsaus, Hannula-Sormunen, Mattinen, Räsänen & Ruusuvirta, 2018).

Olemme Turun yliopiston opettajankoulutuslaitoksen matematiikan oppimisen ja opetuksen tutkimusryhmässä tehneet parikymmentä vuotta tutkimusta siitä, miten varhaiskasvatus- ja kouluikäiset lapset voivat käyttää matemaattisia taitoja hyväkseen luontevasti leikeissä, arkisissa ja ohjatuissa tilanteissa. Näin he omatoimisesti hankkivat harjoitusta matemaattisesta ajattelusta matematiikan tuntien tai erillisten ohjattujen tuokioiden ulkopuolellakin. Varhaiskasvatuksen kannalta tärkeä tutkimushavainto on ollut se, että toiset lapset harjoittelevat näin omatoimisesti pienestä pitäen enemmän, toiset vähemmän, ja erot tällaisen harjoittelun määrissä selittävät matemaattisten taitojen kehitystä (Hannula, 2005; Hannula-Sormunen, 2015). Yksilölliset erot varhaiskasvatusikäisten lasten välillä SFON-tendenssissä (Spontaneous Focusing On Numerosity) eli spontaanissa taipumuksessa kiinnittää huomiota lukumääriin ovat yhteydessä lasten varhaisten matemaattisten taitojen kehitykseen päiväkoti-iästä toiselle luokalle asti (Hannula & Lehtinen, 2005; Hannula, Lepola & Lehtinen, 2010) ja jopa 6−7 vuoden päähän (Hannula-Sormunen, Räsänen & Lehtinen, 2015; Nanu, ym. 2018).  Lapset, jotka havainnoivat lukumääriä ympäriltään useammin kuin muut, oppivat laskemaan taitavammin, ja toisaalta lapset, jotka laskevat taitavammin, myös havainnoivat lukumääriä jatkossa herkemmin. Nyt jo yli 20 kansainvälisessä tutkimushankkeessa Ecuadorista Australiaan on pystytty osoittamaan vastaavia yksilöllisiä eroja lasten spontaanissa huomionkiinnittämisessä matemaattisiin piirteisiin, ja erot tässä taidossa ennustavat myöhempää matematiikan osaamista (ks. katsaus Hannula-Sormunen, 2015; McMullen, yms, 2019). 

Laskulasit matemaattisten taitojen oppimisen käynnistäjänä

Alkaako lapsi tarkastella maailmaa myös matemaattisten linssien tai ”laskulasien” läpi? Löytyykö laskulasit myös varhaiskasvatuksen henkilöstöltä? Laskulaseilla ympäristöä tarkastellessa ei voi välttyä huomaamasta, mitä kaikkea laskettavaa läheltä löytyy: minulla on kaksi jalkaa, mutta tuolla koiralla näyttää olevan neljä; kadulla huristaa peräti viisi autoa, joista kaksi punaista ja kolme sinistä, taustalla kuuluu ”mustekaloilla on kolme sydäntä”. Varhaiskasvatusikäiset eivät opi matemaattisia taitoja vain niissä (harvoissa) tilanteissa, joissa aikuiset tai toiset lapset heille matemaattisia pulmia esittelevät, vaan he voivat harjoitella näitä taitoja myös oma-aloitteisesti kunhan vain kiinnittävät huomionsa matemaattisiin piirteisiin ympäristössään (Hannula & Lehtinen, 2005; Hannula, Mattinen & Lehtinen, 2005). 

Kuva Anne Tuulikangas

Tutkimukset osoittavat, että lasten huomionkiinnittämistä lukumääriin voidaan lisätä leikki- ja toimintaympäristöä muokkaamalla ja lapsia ohjaamalla. Kyse ei ole synnynnäisestä kyvystä, johon ei voida vaikuttaa. Tällainen harjoittelu näyttää herättävän lapset harjoittelemaan matemaattisia taitoja laajemminkin kuin vain siltä osin, mitä interventiotutkimuksessa harjoiteltiin (Hannula, Mattinen & Lehtinen, 2005; Mattinen, 2006; Mattinen, Hannula & Lehtinen, 2006). Tämän takia on erittäin tärkeää varmistaa, että kaikki lapset heräävät tarkastelemaan maailmaa matemaattisesta näkövinkkelistä jo varhaiskasvatusiässä, ettei harjoitusmäärien ero pääse revähtämään ylitsepääsemättömän suureksi ennen kouluikää. Vastaavasti esiopetus- ja kouluiässä olisi tärkeä auttaa oppilaita näkemään arkisten tilanteiden ja toiminnan sisältämän matematiikan ja niitä kuvaavien kirjoitettujen matemaattisten symbolien yhteydet ja merkitys monenlaisten käytännön pulmien ratkaisemiselle.

Aikuinen voi ohjata lapsen huomion lukumääriin ja tehdä selväksi sen, että matemaattiset piirteet ympäristössä ovat jännittävä ja mielenkiintoinen havainnoinnin ja toiminnan kohde jo hyvin pienestä pitäen (Hannula, 2005; Mattinen, 2006).  Vuosituhannen alun tutkimusprojektissa (Hannula, Mattinen & Lehtinen, 2006) kehitetty, toimiva leikki on akvaariotaulu, jossa olevien kalojen lukumäärään kiinnitetään ensiksi yhdessä huomiota, jotta kaikki lapset hoksaavat kalojen määrän olevan tärkeä juttu tässä leikissä. Sitten aikuiset lapsilta salaa käyvät poistamassa ja lisäämässä kaloja akvaarioon useita kertoja päivässä. Koko ajan pysytään niin pienellä lukualueella, että kaikki ryhmän lapset osaavat lukumäärät tunnistaa ja innostutaan tunnistamaan, vertailemaan ja tarkkailemaan lukumääriä ja niiden muutoksia muualtakin kuin akvaariosta. Olemme toisessa, juuri raportoinnin alla olevassa tutkimusprojektissa, kokeilleet menestyksekkäästi jo myös lukumääräsyöttejä eli pienten, keskenään samannäköisten esinejoukkojen ripottelua lasten näkyville herättämään huomiota lukumääriin. Lattialla voi olla vaikka yllättävät 3 vihreää samanlaista sammakkoa symmetrisesti aseteltuna tai piirroksessa oudosti kaksi aurinkoa taivaalla. Aikuisen innostus katsella maailmaa matemaattisin silmin tarttuu lapsiinkin. Syötin herättämillä ”laskulaseilla” etsitään sitten ympäristöstä muutakin laskettavaa ja voidaan pohtia mitä on enemmän tai vähemmän ja mitä jos kaksi sammakkoa hyppääkin pois, montako jää jäljelle. Ensin opitaan tunnistamaan ihan pieniä lukumääriä yksi ja kaksi ilman laskemista ja sitten vähitellen aletaan opetella esineiden laskemisen jaloa taitoa (Wynn, 1990). 

Kuva Aino Mattinen

Miksi ”pikkumatikkaa” sitten pitäisi olla varhaiskasvatuksessa?

Pitkittäistutkimukset osoittavat matemaattisten taitojen kivijalan rakentuvan jo ennen kouluikää, mikä alleviivaa varhaiskasvatuksen merkitystä matemaattisten taitojen oppimisessa (Clements & Sarama, 2009; Fuson, 1988). Mitä paremmat taidot lapsella on koulun alkaessa, sitä paremmat edellytykset hänellä on matematiikan oppimiseen koulussa aina peruskoulun loppuun saakka. Duncanin ja kollegojen kuutta pitkittäisaineistoa tarkastelleessa tutkimuksessa (2007) todettiin varhaisten matemaattisten taitojen ennustavan paremmin lukemista ja matemaattisia taitoja kuin kielelliset taidot ennen kouluikää. Tämä tulos yllätti ainakin jossain määrin tutkijapiirit ja vastaavia tuloksia on saatu nyt jo monista muistakin tutkimuksista (esim. Koponen, ym. 2013). 

Matemaattisten taitojen toimivat varhaiset interventiot näyttävät tukevan paitsi matemaattisia taitoja myös toiminnanohjauksellisia sekä kielellisiä taitoja ja matemaattiset taidot kehittyvät nimenomaan matemaattisia taitoja harjoittelemalla (Clements & Sarama, 2009). Pikkumatikka ei siis hyödytä vain matemaattisten taitojen kehitystä, vaan on hyvä oppimisareena kielellisten taitojen, toiminnanohjauksen ja itsesäätelytaitojenkin harjoittelulle. Pikkumatikka ja laskulaseilla maailman tarkastelu ei myöskään ole pois muusta, vaan yksi luonteva osa lapsen ja aikuisten yhteistä toimintaa ja leikkiä.

Matemaattisten taitojen oppimisen ongelmia ei meillä juurikaan ole aikaisemmin tunnistettu varhaiskasvatuksessa ja varhaisten matemaattisten taitojen systemaattinen tukeminen varhaiskasvatuksessa vaikuttaa vaihtelevan paljon päiväkodista, esiopetusta ja ryhmästä toiseen. Esimerkiksi eräässä vuosituhannen alkupuolen pitkittäistutkimuksessa keräsimme tiedot erityisen tuen tarpeesta ja sen syistä sekä vertasimme tietoja lasten matemaattisiin taitoihin tutkimusaineistossamme. Varhaiskasvatuksessa erityisen tuen tarve oli diagnosoitu  n. 10 prosentilla lapsista. Päiväkotikyselyjen perusteella kenelläkään 183 esikoululaisesta ei ollut diagnosoitua erityisen tuen tarvetta matemaattisten taitojen osa-alueella. Tutkimuksemme osoitti kuitenkin, että matemaattisten taitojen selkeitä ongelmia oli aineistossa n. 9 prosentilla (Hannula & Lepola, 2005). Viime keväänä ensimmäistä kertaa toteutetun Pikkumatikka-verkkokurssin reilusta 200 varhaiskasvatuksen ammattilaisesta vain noin neljäsosa kertoi omassa päiväkodissa kiinnitettävän systemaattisesti huomiota lasten matemaattisten taitojen tukemiseen. 

Kansainvälisissä tutkimuksissa matemaattisten oppimisvaikeuksien on osoitettu olevan yhtä yleisiä tai jopa yleisempiä kuin lukivaikeudet ja matemaattisten taitojen oppimisen pulmiin kehitetään ratkaisuja myös varhaiskasvatusikäisille (ks. katsaus Fritz, Vittori & Räsänen, 2019). Aunolan ja kollegoiden tutkimuksessa erot suomalaislasten matemaattisissa taidoissa näyttivät kasvavan esiopetuksesta 2.luokan loppuun. Lisäksi lapsista erottui jo näin varhaisessa vaiheessa potentiaalinen matematiikan oppimisvaikeusryhmä, joiden taidot kehittyivät muita hitaammin (Aunola ym., 2004). Leppäsen ym. (2004) lukutaidon kehitystä samoilla lapsilla seuranneessa tutkimuksessa osoitettiin, että lukutaidon oppimisessa vastaavaa taitoerojen kasvua ei tapahtunut. Tulos viittaa siihen, että esi- ja alkuopetus tuki erinomaisesti lähtökohdiltaan heikompien lasten lukemaan oppimista, mutta ei niinkään matemaattisten taitojen kehitystä. 

Yleinen matemaattisten taitojen kehityksen tutkijoiden huolenaihe onkin liian myöhäinen herääminen lapsen matemaattisten taitojen oppimisen ongelmiin (Mononen, 2014). Riitta Kinnusen (2004) mukaan matemaattisiin oppimisvaikeuksiin tartutaan aikaisimmillaankin varsin myöhään, tyypillisesti vasta 3. luokalla kertotaulun oppimisen ongelmaan törmätessä. Tällöin taitoerot luokkatovereihin ovat kuitenkin monesti jo kasvaneet niin suuriksi, että niiden kiinni kurominen on kovan työn takana. Suurten taitoerojen lisäksi pelko matematiikkaa kohtaan ja ahdistus omasta osaamattomuudesta vauhdittavat jo varsin varhain epäonnistumisen noidankehää matematiikassa (esim. Laine & Huhtala, 2004; Lehtinen & Kinnunen, 1993).

Kuva Minna Hannula-Sormunen

Matemaattisten taitojen hierarkkinen rakenne on yksi syy siihen, miksi kelkasta kerran pudonneen on vaikea kavuta kyytiin enää myöhemmin. Erityisen ongelmallista tämä on pikkumatikan taitojen osalta, koska koulun alkaessa hypätään hyvin suoraan kirjoitetun matematiikan, numeroiden ja numeroilla operoimisen maailmaan. Monille lapsista tämä sopiikin, mutta lapset, jotka ovat jääneet vuosien ajan vaille ”pikkumatikkaa” omaavat varsin heikot eväät kirjoitetun matematiikan oppimiseen. Lukitaitojen ollessa kyseessä ei niinkään jäädä odottelemaan lapsen kypsymistä tai omaa heräävää innostusta, vaan lapsen taitoja tuetaan ja häntä ohjataan kielellisten taitojen harjoittelussa luontevasti ja järjestelmällisesti ihan pienestä pitäen. Miksi matemaattisen ajattelun taitojen osalla ei ole samoin? Lasten matemaattisen lukukäsitteen intensiivinen kehitysvaihe alkaa jo kolmen ikävuoden kieppeillä (Wynn, 1990). Aino Mattisen väitöskirjatutkimuksessa (2006) havaittiin aikuisille helposti käyvän niin, että 3-vuotiaat lapset, joiden matemaattiset valmiudet ovat heikoimmat, jätetään vähemmälle ohjaukselle, eikä heidän taitojansa tueta samassa määrin kuin niiden lasten, jotka jo osaavat jonkin verran.

Monia tutkimuksia yhdistävät meta-analyysit tutkimusnäytöstä varhaisten matemaattisten taitojen tukemisesta ennen kouluikää osoittavat, että tukeminen on tehokkainta päiväkoti-iässä ennen esiopetusta (Wang ym. 2016). Riikka Monosen väitöskirjatutkimuksissa (2014) osa hänen kokeilemistaan varhaisista interventioista osoittautui lyhyellä aikajänteellä tehokkaiksi, mutta ne eivät pystyneet pitämään heikommilla matemaattisilla taidoilla liikkeellä olleita lapsia koulussa muiden tahdissa intervention loputtua. Pienten lasten matemaattisten taitojen harjoittelu erillisillä harjoituksilla tai tehtävillä, yksittäisiä osataitoja drillaamalla ei tutkimusten valossa näytä monestikaan tuottavan siirtovaikutuksia tai kestäviä oppimistuloksia (Räsänen, ym. 2009), joten varminta lienee olisi luottaa lapsille luontaisten oppimisen tapojen eli lapselle merkityksellisten pulmien sekä leikin, toiminnan ja yhteisen ihmettelyn voimaan varhaisten matemaattisten tukemisessa ja laskulasien hankinnassa. 

Positiivisen matematiikkaan suhtautumisen kannalta olisi tärkeää ennaltaehkäistä epäonnistumisen kierre ennen kuin se on päässyt alkuunkaan. Vanhemmilla voi olla vahvojakin käsityksiä omasta tai suvun epämatemaattisuudesta, ts. huonosta matikkapäästä, mikä voi vaikuttaa negatiivisesti lapsen käsitykseen itsestään matematiikan oppijana (Kinnunen, 2004). Björklundin ja Barendregtin (2016) mukaan myös varhaiskasvatuksen henkilöstön omassa asennoitumisessa matematiikkaan on suuria eroja ja negatiiviset kokemukset matematiikasta monesti näkyvät siinä, miten innokkaasti ja taitavasti lapsia ohjataan matemaattisessa ajattelussa. Interventiotutkimuksissamme ja viime kevään Pikkumatikka-verkkokursseilla olemme huomanneet myönteisen muutoksen varhaiskasvatuksen ammattilaisten asenteissa, rohkeudessa ja taidoissa ohjata lapsia matemaattisessa ajattelussa osana kaikkea varhaiskasvatuksen toimintaa. 

Jotenkin ajattelee, että pienille lapsille ei ole edes tarjottu matikkaa. Että se [matematiikka] on ollut sitten, kun on tullut se eskarivuosi, ja sitten on tulleet ne numerot ja kirjoita numero seitsemän – –. Mulle se suuri lamppu on ollut, että tämä ympäröivä arki ja että se [matematiikka] elää todella joka hetkessä. Jos ajattelee, että tämä oppimisympäristö on niinku tässä, niin se on ollut se oivallus, mikä mulle on tullu. Ja lapset ovat sen ihan selvästi oivaltaneet. Ehkä jossakin kohtaa, kun sitä [matematiikkaa] rupes, että sitä rupes olemaan niin vahvasti siinä päivässä mukana, sitten sen oivalsi, että hei, näinhän se menee. (Mattinen & Hannula-Sormunen, 2017)

Lopuksi

Frye ja kolleegat (2013) arvioivat yli 100 varhais- ja esiopetusikäisillä tehtyä tutkimusta matemaattisen ajattelun tukemisesta ja he totesivat tutkimusnäytön puoltavan seuraavien viiden sisällön sisällyttämistä varhaiskasvatusikäisten matemaattisten taitojen tukemiseen: 

1) Luvut, numerot, operaatiot ja niihin liittyvät taidot ja käsitteet

2) geometriset käsitteet, mittaaminen säännönmukaisuuksien havaitseminen

3) Jatkuva taitojen kehityksen seuranta

4) Maailman tarkastelu matemaattisin silmin

5) Matemaattisten taitojen ja käsitteiden harjoittelun integrointi jokapäiväiseen toimintaan

Uskon, että olemme näitä toteuttamalla oikealla tiellä, kunhan muistamme pysytellä lapsen lähikehityksen vyöhykkeellä, hyödynnämme ennen kaikkea ei-formaaleja tilanteita lapsia tarkalla korvalla kuunnellen ja yhdessä heidän kanssaan innostuen. Varhaiskasvatuksen arkisissa tilanteissa matemaattisten taitojen tukeminen edellyttää aikuiselta tietoa lasten varhaisten matemaattisten taitojen ja käsitteistön kehityksestä ja taitoa tunnistaa näiden ilmenemistä lasten leikissä ja toiminnassa. Tämä mahdollistaa oven avaamisen matematiikan maailmaan varhaiskasvatuksessa.

Lähteet

Aunola, K., Leskinen, E., Lerkkanen, M-L., & Nurmi, J-E. (2004). Developmental dynamics of math performancefrom pre-school to grade 2. Journal of Educational Psychology, 96, 699-713.

Björklund, C. & Barendregt, V. (2016) Teachers’ Pedagogical Mathematical Awareness in Swedish Early Childhood Education, Scandinavian Journal of Educational Research, 60:3, 359-377.

Clements  D.H. & Sarama  J. (2009) Learning  and teaching early math:  The learning trajectories approach. New York: Routledge.

Duncan, G. J., Dowsett, C. J., Claessens, A., Magnuson, K., Huston, A. C., Klebanov, P., et al. (2007). School readiness and later achievement. Developmental Psychology, 43, 1428– 1446.

Fritz, A., Haase, V. G., & Räsänen, P. (2019). International Handbook of Mathematical Learning Difficulties. From laboratory to the classroom. Springer International Publishing.

Frye, D., Baroody, A. J., Burchinal, M., Carver, S. M., Jordan, N. C., & McDowell, J. (2013). Teaching math to young children: A practice guide (NCEE 2014-4005). Washington, DC: National Center for Education Evaluation and Regional Assistance, Institute of Education Sciences, U.S. Department of Education.

Fuson, K. (1988). Children.s counting and concepts of number. New York: Springer Verlag.

Hannula, M. M. (2005). Spontaneous focusing on numerosity in the development of early mathematical skills. Turku, Finland: Painosalama.

Hannula, M. M., & Lehtinen, E. (2005). Spontaneous focusing on numerosity and mathematical skills of young children. Learning and Instruction, 15, 237-256. 

Hannula, M. M., & Lepola, J. (2006). Matemaattisten taitojen kehittyminen esi- ja alkuopetuksen aikana: Mitkä tekijät ennakoivat aritmeettisten taitojen kehitystä? Teoksessa J. Lepola & M. M. Hannula (toim.) Kohti koulua. Kielellisten, matemaattisten ja motivationaalisten valmiuksien kehitys (s. 129-149). Kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisusarja A:205. Turku: Painosalama.

Hannula, M. M., Lepola, J. Lehtinen, E. (2010). Spontaneous focusing on numerosity as a domain-specific predictor of arithmetical skills. Journal for Experimental Child Psychology. 107, 394-406. 

Hannula, M. M., Mattinen, A., & Lehtinen, E. (2005). Does social interaction influence 3-year-old children’s tendency to focus on numerosity? A quasi-experimental study in day-care. In L. Verschaffel, E. De Corte, G. Kanselaar, & M. Valcke (eds.), Powerful learning environments for promoting deep conceptual and strategic learning. Studia Paedagogica, 41. (pp. 63-80). Leuven University Press.

Hannula, M. M., Räsänen, P. & Lehtinen E. (2007). Development of counting skills: Role of spontaneous focusing on numerosity and subitizing-based enumeration. Mathematical Thinking and Learning 9 (1), 51-57.

Hannula-Sormunen, M. M. (2015). Spontaneous focusing on numerosity and its relation to counting and arithmetic. In Dowker, A. & Cohen Kadosh, R. (Eds.) Oxford Handbook of Mathematical Cognition. (pp.275-290). Croydon: Oxford University Press.

Hannula-Sormunen, M. M., Lehtinen, E., & Räsänen, P. (2015). Children’s preschool subitizing, spontaneous focusing on numerosity and counting skills as predictors of mathematical performance 6-7 years later at school. Mathematical Thinking and Learning, 17, 155-177.

Hannula-Sormunen, M., Ruusuvirta, T., Räsänen, P., & Mattinen A. (2018). Varhaisten matemaattisten taitojen perusta: synnynnäiset valmiudet, tietoinen toiminta ja vuorovaikutus. In Joutsenlahti J., Silfverberg, H., & Räsänen, P. (Eds). Matematiikan opetus ja oppiminen. p 158-183. Porvoo: Bookwell.

Kinnunen, R. (2003). Miksi kertotauluun kompastuu?: Lukujen hallinta oppimisen perustana. Turku: Turun yliopisto, Oppimistutkimuksen keskus.

Koponen, T., Salmi, P., Eklund, K., & Aro, T. (2013). Counting and RAN: Predictors of arithmetic calculation and reading fluency. Journal of Educational Psychology, 105(1), 162-175.

Laine, A. & Huhtala, S., 2004, ”Matikka ei ole mun juttu”: Matematiikkavaikeuksien syntyminen ja niihin vaikuttaminen. Teoksessa Räsänen, P., Kupari, P., Ahonen, T. & Malinen, P. (toim.). Matematiikka – näkökulmia opettamiseen ja oppimiseen. Niilo Mäki Instituutti, s. 320-346.

Lehtinen, E., & Kinnunen, R. (1993). Matemaattisista oppimisvaikeuksista. In M. Vauras (Toim.), Oppimisvaikeudet ja opetuksen kehittäminen: Katsaus Turun yliopiston Oppimistutkimuksen keskuksen toimintaan ja tutkimukseen (pp. 37-56). Acta Psychologica Fennica. Soveltavan psykologian monografioita 6. Rauma: Kirjapaino Oy West Point

Mattinen, A. & Hannula-Sormunen, M. (2017). Lapsen matemaattinen maailma ja ajattelu. Teoksessa  E. Hujala & L. Turja (toim.) Varhaiskasvatuksen käsikirja. 4. uudistettu painos. (s. 221-234). PS-kustannus.

Mattinen, A. (2006). Huomio lukumääriin: Tutkimus 3-vuotiaiden lasten matemaattisten taitojen tukemisesta päiväkodissa. Turku, Finland: Painosalama.

Mattinen, A., Hannula, M. M., & Lehtinen, E. (2006). Katsotaanpas kuinka monta jalkaa talla toukalla on! Lapsen ohjaaminen lukumaarien havaitsemiseen ja kasittelemiseen. Teoksessa J. Lepola & M. M. Hannula (toim.) Kohti koulua. Kielellisten, matemaattisten ja motivationaalisten valmiuksien kehitys (s. 155-180). Kasvatustieteiden tiedekunnan julkaisusarja A:205. Turku: Painosalama.

Mattinen, A., Räsänen P., Hannula M. M., & Lehtinen, E. (2010). Nalle-matikka: 4-5 –vuotiaiden lasten oppimisvalmiuksien kehittäminen –pilottitutkimuksen tulokset. NMI-Bulletin, 2, 41-59.

Mattinen, A., Räsänen, P., Hannula, M. M. & Lehtinen, E. (2008). Varhaisten matemaattisten oppimisvalmiuksien kehittämisohjelma päiväkodeille. NMI-Bulletin, 4, 40-53.

McMullen, J., Yun-Chen Chan, J., Mazzocco, M. M. M. & Hannula-Sormunen, M. (in press) Spontaneous mathematical focusing tendencies in mathematical development and education. In Norton, A, & Alibali, M. (Eds.) Constructing Number: Merging Perspectives from Psychology and Mathematics Education. Springer.

Mononen, R. (2014). Early mathematics interventions: Supporting young children with low performance in mathematics. Research Report 362. Helsinki: University of Helsinki.

Nanu, C. E., McMullen, J., Munck, P., Pipari Study Group & Hannula-Sormunen, M. M. (2018). Spontaneous focusing on numerosity in preschool as a predictor of mathematical skills and knowledge in the fifth grade. Journal of Experimental Child Psychology,169, 42-58.

Räsänen, P., Salminen, J., Wilson, A. J., Aunio, P., and Dehaene, S. (2009). Computer-assisted intervention for children with low numeracy skills. Cognitive Development, 24, 450–472.

Wynn, K. (1990). Children.s understanding of counting. Cognition, 36, 155-193.